Давайте сначала исследуем очень простую маленькую машинку — арифмометр.
Он состоит из девяти зубчатых колес, на каждом из которых по десяти зубцов, каждый зубец представляет единицу. Если первое колесо повернуть вперед на 6 зубцов, то это означает цифру 6. Второе колесо представляет десятки, третье — сотни и т. д. При помощи этих девяти колес мы можем получить все числа, выраженные девятью знаками, т. е. все числа до 999 999 999. Если включить в подсчеты 0, эти девять колес могут означать миллиард различных чисел. Другими словами, эти девяносто зубцов могут дать миллиард различных комбинаций.
Если у арифмометра есть второй набор из девяти колес, он, естественно, также может выражать все числа до миллиарда. Если в арифмометре есть еще несколько колес, он может производить сложение и вычитание чисел, полученных на первых двух наборах колес. Еще более сложные машины могут умножать и делить числа.
Разве не ясно, скажет кто-нибудь, что машина состоит из двух разнородных частей — материальной и нематериальной или математической? Инженер, ремонтирующий машину, имеет дело исключительно с ее конструкцией; а математик, который погружается в прекрасное и загадочное царство чисел, соприкасается лишь с нематериальной частью машины. Для него позвякивание колес во время вычисления не более чем неприятный, мешающий шум, если он его вообще замечает. Через некоторое время он, возможно, начинает верить, что нематериальный компонент машины не только гораздо прекраснее материального, но и совершенно независим от него. Его подозрения лишь укрепляются, когда он видит, что те же математические операции можно выполнять на машинах совершенно другой конструкции. И зубчатое колесо вовсе не обязательно! Счетная машина может состоять, например, из электрических реле или транзисторов, или запоминающих устройств. Это иллюстрирует степень независимости нематериального элемента машины от материального.
Можно еще глубже исследовать метафизику счетно-вычислительной машины. Тогда, допуская, что математические операции параллельны, но независимы от движений зубчатых колес, кое-кто, возможно, захочет приписать машине душу, пускай; конечно, и небольшую. Но никто не станет утверждать, что нематериальный элемент машины направляет материальный элемент, так как это означало бы, что машина решила задачу лишь благодаря чисто «интеллектуальному» усилию, а затем «проявлением воли» повернула свои колеса, чтобы показать результат. Более обоснованным будет выглядеть утверждение о том, что «нематериальная» часть вычислительной машины состоит из комбинаций позиций материальных элементов. Совокупность девяти-, десятизубчатых шестеренок больше, чем просто девять шестеренок; вместе они — миллиард позиционных комбинаций. Именно эти комбинации составляют числа, и счетные операции происходят в результате изменений этих комбинаций в соответствии с определенными правилами. Эти комбинации независимы от их материальной базы в том смысле, что одни и те же комбинации могут составляться и большими зубчатыми колесами, и маленькими, или же транзисторами вместо колес. Мы можем великолепно работать с комбинациями, совершенно не обращая внимания, из чего они действительно состоят. По нашему желанию мы можем рассматривать эти комбинации как «духовный» элемент, но и это опять-таки вводится разумным образом, как неизбежное следствие рассматриваемой проблемы.