Как бы ни была хороша физическая идея, она превращается в теорию только тогда, когда из нее возникают уравнения.
Даже сейчас нас восхищает акт рождения общей теории относительности. Все, что было сказано выше, не дает на самом деле ключа для написания уравнения. С самого начала было ясно, что такое уравнение должно превращаться в предельном случае в уравнение Ньютона для потенциала. Было ясно, что оно должно связывать геометрические свойства поля с распределением вещества. Хотелось бы также, чтобы оно не противоречило уравнениям сохранения энергии и импульса. К сожалению, и математики еще недостаточно понимали геометрию Римана, чтобы сказать, какие пространства могут быть полезны физикам. Это сейчас к услугам физиков есть полная классификация разных пространств; в начале же века об этом еще ничего не знали. Было известно, что геометрию определяют 10 величин — 10 компонент метрического тензора. Если эти величины известны, все остальные можно вычислить. В частности, и можно определить, как выглядят линии, но которым должна двигаться материальная точка. Такие линии называются геодезическими. В обычном пространстве геодезические — это обычные прямые. Естественно считать, что в пространстве искривленном, т. е. в пространстве, в котором справедлива неевклидова геометрия, роль прямых выполняют геодезические линии. В частности, на сфере геодезические — это большие круги.
Дальше остается только постулировать, что свободная материальная точка движется по геодезической — и механика построена. Но как определить уравнение, из которого можно найти 10 нужных величин?
Уравнение это должно определять не только геометрию мира в данный момент, но и описывать изменение геометрии со временем.
Уравнения должны также описывать, как изменяется ход часов в разных точках пространства. В специальной теории относительности все обстояло проще. Длина измеряется так же, как и в классической механике, время — обычными часами. Теория занимается тем, как изменяются длины и интервалы времени при переходе в движущуюся систему координат.
В поле тяготения все осложняется. Подобно тому как на двумерной сфере нельзя построить прямоугольной, декартовой системы координат, такой системы нельзя построить и во всем пространстве, если есть поля тяготения. Поэтому уравнения должны быть написаны в произвольной четырехмерной системе.
Точка в такой системе координат будет описываться четырьмя числами: тремя пространственными координатами и временем. Прямой будет называться не траектория частицы, а график ее движения (множество точек описывающих положение точки в разные моменты времени). Это значит, что геометрия должна быть четырехмерной.
Для сегодняшнего читателя четырехмерная неевклидова геометрия, наверное, не кажется парадоксальной. Когда Лобачевский впервые представил свою работу на суд математиков, то один из них написал в 1834 г. в журнале «Сын отечества»: «Многие из первоклассных наших математиков читали ее и ничего не поняли. После чего уже не считаю нужным упоминать что и я, продумав над сею книгою несколько времени, ничего не придумал, т. е. не понял почти ни одной мысли»…»
Вряд ли сейчас так скажет даже школьник. Четырех мерный характер геометрии можно понять таким образов. Что бы увидеть трехмерный мир, надо все точки этого мира увидеть одновременно. Но никакая информация не может быть передана мгновенно. Далекие точки мы неизбежно увидим в более ранний момент их существования, т. е. такими, какими они были давно. Глядя на небо, мы видим далекие галактики более молодыми, чем близкие. Картина мира, которая разворачивается перед нашими глазами, это не мир в какой-то избранный момент времени, а мир, в котором все объекты, лежащие на расстоянии R от наблюдателя, моложе наблюдателя на R/c. Говорят, что мы видим сечение мира световым конусом (каждая образующая этого конуса — график пути светового луча как функция времени).
В специальной теории относительности вместо длины появляется интервал ΔS. Для двух близких мировых точек квадрат интервала между ними определяется (ΔS)2 = c2 (Δt)2 — (Δl)2, где — Δt разность их времен, а Δl — обычное трехмерное расстояние. Эта величина не зависит от характера движения наблюдателя. Так, для света она всегда и для всех наблюдателей равна нулю; это значит, что (Δl)2 всегда равно c2 (Δt)2, т. е. что скорость света всегда равна c.
Такое выражение для интервала предполагает, что все направления в пространстве равноправны, т. е. что равноправны три компоненты (Δl)x , (Δl)у и (Δl)z, и что скорость света всегда равна c. Оба эти предположения оказываются нарушенными в поле тяжести. Вблизи Солнца, например, из-за его поля тяжести все длины вдоль радиуса вытягиваются по мере приближения к Солнцу, а все длины поперек этого направления сжимаются. Время же вблизи Солнца идет медленнее, а скорость света уменьшается. Такие утверждения проверены опытами на Солнце и на Земле. Путь луча от звезды искривляется, когда свет проходит вблизи края Солнца, как будто бы он попал в оптически плотную среду с показателем преломления n, большим единицы. Планеты двигаются не совсем по закону Ньютона, как будто бы в законе всемирного тяготения появилась маленькая добавка, обратно пропорциональная кубу расстояния, несколько вытягивающая орбиты планет. Часы на самолете, облетающем Землю, убыстряют свой ход на большой высоте из-за уменьшения поля тяжести.
Эффекты теории относительности давно перестали быть экзотическими, и ее формулами пользуются в разных областях физики и астрономии с полной надежностью.
Ясно, что если интервал имеет вид (ΔS)2 = c2 (Δt)2 — (Δl)2, то в пространстве нет полей тяготения. Если же поле тяготения есть, интервал уже не может быть задан универсальным, а описывается 10 коэффициентами, которые могут быть в общем случае функциями координат и времени.
Эйнштейну удалось найти как раз 10 уравнений, которые определяют эти коэффициенты, если задано распределение масс, создающих поле. Впервые уравнения были решены для поля точечной массы. Это была задача о движении планет, так называемая задача Шварцшильда.
Задача Шварцшильда оказалась очень емкой. С ее решения началось развитие общей теории относительности. В этом решении оказались скрыты не только малые поправки к движению планет, но и совершенно новые явления, о существовании которых в классической физике никто не мог даже и предположить.