Законами вращения, выведенными теоретически Эйлером, объясняются замечательные свойства вращающихся тел, например волчка и гироскопа. Эйлер и Лагранж изучили два рода волчков.
Волчок Эйлера представляет собой подобие колокольчика с утолщенным нижним краем. Точка опоры его находится внутри и совмещается с центром тяжести волчка.
Другой вид волчка изучен французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736—1813).
Жозеф Луи Лагранж был сыном бедных родителей и с ранних лет должен был сам добывать средства к жизни. В возрасте девятнадцати лет он уже преподавал математику в артиллерийском училище. В 1764 году Лагранж получил большую известность, представив в Парижскую Академию наук исследование либрации Луны, удостоенное специальной премии. Через два года после этого он был приглашен Берлинской Академией наук занять место Эйлера, уехавшего в Россию.
Либрацией Луны называются небольшие колебания ее относительно Земли, вследствие чего наблюдению доступно более половины лунной поверхности.
Волчки, вращение которых исследовалось Эйлером (слева) и Лагранжем (справа)
В Берлине Лагранж прожил двадцать лет и издал много трудов по математике и механике. Там же он написал свою знаменитую «Аналитическую механику», но не нашел для нее издателя. Только по возвращении его в Париж эта замечательная работа была опубликована (в 1788 году).
Волчок Лагранжа отличался от изученного Эйлером тем, что у него центр тяжести лежал выше точки опоры. Приведенный в движение, волчок вращался бы равномерно (замедление вращения происходит вследствие трения в точке опоры и в окружающем воздухе). Его движение вполне аналогично равномерному поступательному движению по инерции.
Изучая вращение волчка, механики познакомились с замечательным проявлением инерции — сохранением направления оси вращения.
Волчок, служащий детской игрушкой, позволяет легко убедиться в этом. Приведенный во вращение развернувшейся пружиной, он кажется неподвижным.
Кажущееся на первый взгляд странным сохранение направления оси вращения объясняется очень просто: каждая частица вращающегося тела по инерции сохраняет направление своего движения; поэтому сохраняется положение плоскости, в которой она движется, а ось вращения — воображаемый перпендикуляр к этой плоскости, восстановленный в центре кругового пути частицы.
Поскольку неизменно положение плоскости, в которой лежит путь частицы, постольку сохраняется и направление оси вращения. Когда же внешняя сила заставляет частицы тела изменить направление движения, то инерция частиц сопротивляется этой силе. Это сопротивление ощущается как сила, поворачивающая ось вращения.
Если держать в руках концы оси вращающегося велосипедного колеса и поворачивать ось в горизонтальной плоскости, то частицы колеса сопротивляются изменению их движения и руки испытывают давление вертикальных сил. Наоборот, при поворачивании оси в вертикальной плоскости силы давления действуют в горизонтальном направлении. Рассматривая относительное направление сил, меняющих положение оси вращения и сопротивления этому изменению, можно вывести такое правило: когда на ось вращающегося волчка действует отклоняющая сила, то возникает движение оси в направлении, перпендикулярном этой силе.
Это явление удобно наблюдать на приборе особого устройства. Такой прибор состоит из горизонтального стержня, несущего вращающийся диск и груз. Диск и груз находятся по сторонам от точки опоры стержня, могущего поворачиваться как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости.
Рычажный гироскоп Фесселя. Вращающийся диск сохраняем положение оси, но под влиянием силы тяжести прибор получает вращение в горизонтальной плоскости.
Груз уравновешивает диск, но если передвинуть его дальше от опоры, то он станет поворачивать ось вращения диска в вертикальной плоскости. Вследствие этого стержень получит лишь легкое колебание вверх и вниз, но зато станет вращаться около точки опоры в горизонтальной плоскости, то есть перпендикулярно к направлению отклоняющей силы.
Волчок, изученный Эйлером и Лагранжем, — не вполне свободное тело. Более свободным является гироскоп Боненбергера.
Гироскоп — массивный диск, вращающийся в обойме, подвешенной по способу Кардана. Он находится внутри кольца, могущего вращаться около оси, перпендикулярной к оси диска; кольцо, в свою очередь, помещено внутри другого кольца, также легко вращающегося около оси, перпендикулярной к оси вращения первого кольца.
Когда диск гироскопа приведен в быстрое движение, то при любом изменении положения прибора ось вращения сохраняет свое направление в пространстве. Если она была направлена на какую-нибудь звезду, то будет следовать за суточным движением этой звезды.
Это свойство гироскопа позволяет убедиться во вращении Земли. Движения Земли не оказывают влияния на положение оси гироскопа в пространстве. Они увлекают центр тяжести гироскопа, но не могут изменить направление вращения его оси.
Нужно, впрочем, заметить, что, направленный на звезду, гироскоп не должен был бы изменять своего направления даже в том случае, если бы он не вращался. Однако сопротивление воздуха и незначительное трение частей прибора неизбежно будут отклонять его ось.
При быстром же вращении инерция движения сопротивляется не только этому ничтожному трению, но и довольно сильным толчкам.
Движение оси гироскопа под действием отклоняющей силы происходит без инерции; оно длится только в течение времени, пока на ось действует отклоняющая сила. По выражению известного русского механика, академика В. Л. Кирпичева, отклоняющая сила «держит полюс (конец оси вращения) в узде, не позволяет ему ни разбегаться, ни отставать».
Знание свойств гироскопа имеет важное практическое значение. При всех расчетах, связанных с вращением тяжелых частей механизмов, нужно принимать во внимание возникающие вследствие него динамические давления.
Эти давления вызываются поворотом вращающегося тела около оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат действующие на него силы.
Гироскоп. Тяжелый вращающийся диск, установленный в кардановом подвесе, кольца которого могут вращаться около двух взаимно перпендикулярных осей.
На современных судах двигателями служат обычно быстро вращающиеся турбины. Во время качки и при поворотах судна ось турбины отклоняется внешней силой. Это влечет за собой возникновение добавочного давления на подшипники, в которых вращается ось турбины.
Возникающими силами можно воспользоваться для уменьшения качки судна. Для этого в трюме судна нужно установить тяжелый гироскоп, чтобы при изменении его положения вследствие качки сопротивление оси гироскопа уменьшало раскачивание судна волнами.
Гироскоп. Вращающийся диск сохраняет горизонтальное положение оси в пространстве. Он свободно висит в воздухе, но кольцо движется в горизонтальной плоскости
Направление давлений в подшипниках оси гироскопа при боковой или килевой качке можно определить, пользуясь приведенным опытом с вращающимся велосипедным колесом.
В авиационных приборах также часто пользуются гироскопами, например для получения «искусственного горизонта»: установленная в горизонтальной плоскости ось гироскопа сохраняет это положение при всех движениях самолета, указывая на угол наклона его оси.
Теория вращения твердого тела получила также широкое применение для объяснения некоторых астрономических явлений, связанных с вращением Земли. Важнейшее из этих явлений — предварение равноденствий, или прецессия, замечено еще древними астрономами.